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二次域

作者:匯感百科  閱讀:次  類別:中國百科

    有理數域Q的二次擴域。每個二次域都可表示成其中d 不等于1是無平方因子的有理整數,按照d>0和d<0,分別稱K為實二次域和虛二次域。

    二次域是除了有理數域之外最簡單的一類代數數域。它有如下較簡單的數學結構和特性:

    ① K的(代數)整數環為OK=Z[ω],即K中每個(代數)整數均可寫成α+bω,其中αb∈Z,而(當d2,3(mod4)時),(當d1(mod4)時)。由此可知,K的判別式分別為d(K)=4dd(K)=d

    ② 每個有理素數p在二次域K 中的分解規律為:對于p≥3時,若pd(K),則p OK中一個素理想的平方(即pK中分歧);若pd(K),當,則pOK中兩個不同素理想的乘積(即pK中分裂);當-1,則pOK中仍生成素理想(即pK中慣性)。對于素數p=2,若 2|d(K),則 2在K中分歧;若2d(K),則必然d1(mod4)。當d1(mod8)時,2在K中分裂;當d5(mod8)時,2在K中慣性。

    ③ 二次域K 的單位根群記為WK。當時,;當時,WK={±1,±ω ,±ω2},。而對于所有其他的二次域K,則WK={±1}。

    ④ 二次域K的單位群 UK,指的是整數環 OK中乘法可逆元全體。當 K為虛二次域時,UK=WK,而對于實二次域 K,存在一個單位 ε>1(稱為 K的基本單位),使得

    ⑤ 二次域的(理想)類數hK也有簡單的表達式:當d≤-5時,(對于d=-1和-3,熟知hK=1);當d>0時,式中D=|d(K)|;ε為基本單位;ln表自然對數;ⅹD是模D(惟一的)實本原特征。

    1801年,C.F.高斯發表了他在20歲時所寫的數論著作《算術研究》,展現了他的一個杰出的思想,即把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題,放到更大的域和環二次域和它的(代數)整數環上來研究。他在這些方面的工作,是研究二次域的開端,也是代數數論的一個源頭。

    二次域有許多研究課題,其中最著名的是高斯關于類數問題的兩個猜想:①只有有限多個類數為1的虛二次域;②存在著無限多個類數為1的實二次域。關于第一個猜想,1934年,H.海布雷恩證明了當d(K)→時,hK。1935年C.L.西格爾進一步證明了。A.貝克于1966年和H.M.斯塔爾克于1967年各自獨立地證明了類數為1的虛二次域只有9個:d=1,2,3,7,11,19,43,67,163。至于第二個猜想,則至今仍未解決。

    參考書目 D. B. Zagier,Zetaƒunktionen und Quadratische Krper,Springer-Verlag, Berlin, 1981.

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